К О Н СУ Л Ь Т А Ц И И

Применение анализа соответствий в обработке нечисловой информации

Ю.Н.Клишина

(Москва)

Статья знакомит в общих чертах с малоизвестным в отечественной практике исследований методом обработки нечисловой информации - анализом соответствий и демонстрирует его применение на конкретном социологическом примере.

Ключевые слова: нечисловая информация, метод анализа, анализ соответствий, ценностные ориентации.

Для анализа количественных (числовых) данных, за­данных шкалой отношений либо интервальной, у социолога 'имеется богатый арсенал статистических методов. Однако часто ему приходится работать с признаками нечисловой природы, измеренными номинальной или порядковой шкалой. К ним нельзя применить многие классические методы математической статистики, что существенно затрудняет исследования.

Между тем, вне рамок классического подход существует апробированный аппарат, предназначенный для анализа подобной информации. В частности, следует указе на так называемый анализ соответствий. Он широко используется за рубежом начиная с 60-х годов, однако в отечественную практику был внедрен сравнительно недавно. ЦЭМИ АН СССР создан пакет прикладных программ «САНИ», который реализует этот метод наряду с другими приемами обработки нечисловой информации[1] .

Цель статьи популяризировать идеи, предложенные в [1,2,3,4], опираясь на результаты работы с пакетом «САНИ».

Существуют два подхода к анализу соответствий. При первом устанавливается взаимное соответствие града! пары признаков; при втором объекты и категории неколичественных признаков представляются в виде точек на плоскости, что позволяет выделить аномальные наблюдения и возможные группировки, строить гипотезы о взаимосвязях.

Первый подход к анализу соответствий:

условный пример [5]

Три преподавателя были аттестованы десятью студентами по шкале «хороший», средний», «плохой» (см. табл.1).

Табл. 1 обобщает результаты опроса, но не позволяв сделать какой-то объективный вывод относительно деятельности преподавателей, поскольку, во-первых, получение распределение мнений нельзя интерпретировать однозначно во-вторых, процедура оценки носит довольно приблизительный характер: каждый студент имеет свои представления о «хорошем», «среднем» и «плохом» преподавателе, поэтому преподаватели, по сути дела, оцениваются по 10 различным,

Таблица 1

Распределение оценок преподавателей группой студентов

более или менее совпадающим, экземплярам предложенной шкалы. Устранить такие эффекты можно разными способа­ми, например, давая каждому варианту шкалы подробный комментарий. Однако представляется более интересным дру­гой путь: обобщая мнения студентов, получить числовые вы­ражения для этих вариантов, а затем на их основе посчитать средний балл каждого преподавателя. Таким образом можно установить соответствие между градациями первого и второго признака: между порядковыми номерами преподавателей и характеристиками «хороший», «средний», «плохой». Други­ми словами, значения первого и второго признака можно представить в виде точек на числовой прямой и рассмотреть их взаимное расположение.

Предложенный метод позволяет параллельно с основ­ной задачей (подбором каждому преподавателю соответствую­щей оценки) решать ряд дополнительных, д том числе: полу­чить числовой эталон шкалы оценок Для группы респонден­тов; определить расстояние между вариантами шкалы, т.е. насколько «хороший» лучше «среднего», а «средний» - «пло­хого»; на основе вычисленных средних баллов провести срав­нение преподавателей, т. е. определить, во сколько раз и на какие величины различаются их рейтинги среди студентов.

Первый подход: математический алгоритм

Продемонстрируем его на нашем примере. Припишем метку Х₁ - «хорошему», Х₂ - «среднему», Х₃ - «плохому ». Тогда средние баллы 1-го, 2-го и 3-го преподавателей соответственно можно выразить

Будем искать числовые значения Х₁, Х₂, Х₃ наилучшим образом представляющие взаимосвязь признаков, таким способом, чтобы максимизировать показатель тесноты связи h² между двумя признаками [б]. Способ нахождения Х₁, Х₂, Х₃ излагается ниже мелким шрифтом. Представим решение в общем виде. Рассмотрим таблицу сопряженности признаков Х и Y, имеющих соответственно n и m гра­даций,

Обозначим s_i. - сумму строки i, a s_.j - сумму столбца j. Построим по s_j. диагональную матрицу

и аналогичную матрицу с элементами s_i.

Ищем собственные значения матрицы т.е. корни уравнения

Верно следующее: число собственных значений матрицы равно ее рангу; эти значения можно упорядочить по возрастанию (убыванию). Если q=rang А, то для множества решений ^ уравнения (4) получаем

l₁ > l₂> … > l_n.

В [1] показано, что искомыми метками являются координаты собст­венного вектора Х(Х₁, Х₂, Х₃) матрицы А, которые находятся из системы линейных уравнений Ах = lх. Однако (4) порождает q соб­ственных значений матрицы А и, следовательно, q различных реше­ний задачи. В качестве основного выбираем собственный вектор

l₁ = l_max = max_il_i, i = 1, …, q.

Насколько удачно полученное решение устанавливает соответ­ствие между признаками, можно судить по отношению

l₁/S_pA, (5)

где S_pA = ål_i = åа_ij - след матрицы А.

Чем ближе (5) к единице, тем точнее полученное решение. Для нашего примера исходная матрица

а построенные на ее основе матрицы имеют следующий вид

Перемножим их по известной формуле: А = F^t D_n^–1FD_m ^–1

Найдем максимальное собственное значение матрицы А — lI. Для этого решим уравнение (4), которое в нашем случае является уравнением третьей степени относительно l..

Его максимальный корень: l₁ примерно paвен 0, 368. Для этого значения l₁ построим собственный вектор. Решая систему линейных уравнений

0,381 X₁ +0,357 X₂ + 0,015 X₃ = 0,368 X₁

0.357 X₁ + 0.0496 X₂ + 0,024 X₃ = 0,368 X₂

0,15 X₁ + 0.246 X₂ + 0,048 X₃ = 0,868 X₃,

Находим: X₁ » 1,0761; X₂ » 0.092; X₃ » 1,4717.

Для порядковой шкалы «хороший», «средний», «пло­хой» получены такие числовые значения: «хороший» при­близительно равен 1,0761; «средний» - 0,092; «плохой» -1,4717. Расстояния между «хорошим» и «средним», «сред­ним» и «плохим» соответственно составляют 0,984 (или 1,0761-0,092) и 1,379 (или 1,4717-0,092) и различаются на 0,395, т.е. предложенная шкала неравномерна. Происходит смещение в сторону положительных оценок. Это требует до­полнительного анализа как самой шкалы (возможно, она не­полна и нуждается в разукрупнении), так и выборочной совокупности (может быть, опрашиваемые более склонны давать положительные оценки, что искажает объективную картину).

Далее вычисляются по (1)-(3) средние баллы препода­вателей. Они соответственно равны: -1,2322, 0,1227, 1,2326. Сравнение полученных преподавателями баллов с числовыми значениями шкалы однозначно говорит о том, что, по мне­нию опрошенных, 1-й преподаватель является «плохим», 2-й - «средним», а 3-й - «хорошим». Можно сделать также вывод, что самый высокий рейтинг у 3-го преподавателя, причем, сравнивая баллы его и 1-го, можно предположить, что эти преподаватели являются антиподами с точки зрения их профессиональных характеристик.

Выясним, насколько хорошо представленное соответ­ствие отражает реальную ситуацию. Вычислим отношение (5)

Это означает, что в 78 случаях из 100 верно установленное соответствие между вариантами рассматриваемых признаков.

Предложенный способ анализа нечисловой информа­ции позволяет решать ряд социологических задач, связанных с использованием порядковых шкал (например задачи атте­стации, из года в год встающие перед социологом, работаю­щим на предприятии), обобщением мнений и др.

Второй подход к анализу соответствии:

математический алгоритм

Он применяется при работе с большим и сложным признаковым пространством, в котором соответствие можно установить только выходя за рамки прямой. Этот подход за­ключается в представлении градаций обоих признаков в виде точек на плоскости. Таким образом, результат представляет­ся не в виде чисел, которые исследователь сравнивает между собой, а графически. Это существенно облегчает восприятие и анализ материала, выдвижение и проверку гипотез.

Как и в предыдущем случае, ищется такое представ­ление признаков, которое наиболее точно отражает их взаи­мосвязь. Изложим математическую суть метода, сохраняя все введенные выше обозначения.

Градации признака Х представляются в одномерном про­странстве в виде п точек с координатами

а градации признака Y в виде т точек n-мерного пространства

(Относительные частоты используются для нивелирования различий в маргинальных частотах). Цель построений - графическое пред­ставление градаций признаков на одной плоскости. Для этого снача­ла решается задача отображения на плоскости каждого множества точек.

В [7] показано, что точки градаций признаков Х и Y пред­ставляются на плоскости с осями, являющимися собственными век­торами соответственно матриц А_x = F^T D_n^–1FD_m ^–1 и А_y = F D_m^–1F^T D_n ^–1

Легко показать, что собственные вектора этих матриц ортогональ­ны. В [7] показано, что собственные значения А-у и Ау совпадают. Если иь и Vy собственные вектора матриц А-у и Ау соответственно, отвечающие fe-му собственному значению, то имеют место соотноше­ния

Это дает основание для совмещения представлений точек Х и Y на одной плоскости. Причем поиск координат точки Y_i(Y_i(u₁), Y_i(u₂)) на плоскости (u₁, u₂) сводится к решению задачи предыдуще­го случая. Для отыскания координат X_j(X_j(v₁), X_j(v₂)на плоскости (v₁, v₂) решается симметричная задача. Доказывается, что выбран­ные главные оси наилучшим образом представляют взаимосвязь между исследуемыми признаками.

Если описывать алгоритм, используя решение пред­ыдущей задачи, то он становится чрезвычайно наглядным:

1) ищем два наибольших собственных значения l₁, l₂ матрицы А_x ;

2) вычисляем собственные вектора u₁, u₂, соответствую­щие этим значениям;

3) для каждого значения признака Х по найденным соб­ственным векторам определяем два средние балла, ко­торые и есть его координаты на искомой плоскости;

4) координаты значений признака Y находим, повторяя операции 1)-3) для матрицы А_y.

Второй подход: иллюстративный пример

Проводилось исследование по выяснению ценностных ориентации студентов в возрасте от 18 до 22 лет. Опрашивае­мым предлагалось для рассмотрения 18 жизненных ценно­стей (см. табл.2).[2]

Таблица 2

Жизненные ценности, фигурирующие в опросе

Используя метод парных сравнений, для каждого из опрошенных удалось проранжировать предложенные ценно­сти в порядке убывания важности (1 - наиболее важная, 18 -наименее важная). Общие результаты сведены в табл. 3.

Таблица 3

Ранжировка 18 жизненных ценностей респондентами

Число 6, стоящее в первой строке и первом столбце, показывает, что шесть человек из опрошенных пятидесяти четырех считают для себя самым важным активную жизнь. «7» в четвертой строке и шестом столбце означает, что для семерых студентов искусство и красота природы занимают шестое место в ряду предложенных ценностей, и т.д.

Таким образом, получена таблица сопряженности признаков - «жизненная ценность» и «место» — имеющих по 18 градаций. Проанализировать ее и сделать обобщающие выводы весьма затруднительно. Однако анализ соответствий позволяет это сделать. Результатом его работы в данном слу­чае является графическое описание таблицы сопряженности, представленное на рисунке.

Изучение взаимного расположения точек и крестов дает следующие результаты.

1. На первое место, безусловно, выходит «ценность» ,№ 17 - «удовольствия», а к последнему, восемнадцатому, ме­сту ближе всего находится № 11 - «равенство». Третье место занимает «материально обеспеченная жизнь», а «красота природы и искусство» располагается между третьим и шес­тым. Перечисление можно продолжать, но читатель легко сможет сделать это самостоятельно. Отметим, что в первой по важности половине оказываются такие ценности, как «удо­вольствия», «активная жизнь», «жизненная мудрость», «ин­тересная работа», «искусство и красота природы», «любовь», ^материально обеспеченная жизнь», «счастливая семейная жизнь» и «творчество».

2. Когда для какой-то градации признака «ценность» нельзя явно выделить градацию признака «место», следует говорить о том, что мнения о важности данной категории у опрошенных сильно расходятся. Примером может служить .№ 13 («свобода»), которая занимает промежуточную пози­цию между вторым и семнадцатым местом.

3. В работе [7] показано, что варианты признаков, симметричные относительно оси и находящиеся от нее на до­статочно большом расстоянии, можно интерпретировать как противоположные по смыслу. В частности, это относится к №№ 2, 9. Варианты признаков, расположенные рядом (такие как №.№ 3,5,15), можно считать близкими по смыслу.

Рисунок

Графическое описание таблицы сопряженности - табл. 3:

• - признак «жизненная ценность», + - «место»; градации первого признака обозначены их порядковыми номерами в табл. 2.

Отметим, что анализ соответствий лучше всего использовать для предварительного изучения данных, формирования рабочих гипотез. Особенно удачным может быть его применение при пилотажных исследованиях. В заключение [следует сказать, что данный метод трудно реализуем без средств вычислительной техники, т.к. даже для таблицы

сопряженности размером 2х2 уже требуется большой объем вы­числений.

Литература

1. Адамов CJO., Енюков И..С. Методы обработки неколичественной информации, реализованные в пакете программ по прикладному статистическому анализу (ППСА) //Программно-алгоритмическое обеспечение анализа дан­ных в медико-биологичееких исследованиях. М., Пущи-но, 1967.

2. Адамов CJO. Предельные свойства некоторых методов об­работки нечисловой информации // III школа-семинар «Программно-алгоритмическое обеспечение прикладного статистического анализа». Тез.докл. Цахкадзор: ЦЭМИ АН СССР, 1987.

3. Адамов CJO. Визуализация неколичествеиных данных //Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов. М.: Наука, 1990.

4. Адамов С.Ю. Предельные свойства некоторых методов об­работки нечисловой информации //Многомерный стати­стический анализ и вероятностное моделирование реаль­ных процессов. М.: Наука, 1990.

5. Nishisato 8. Analysis of Categorical Data: Dual Scaling and Its Application. Toronto, 1980.

6. Статистические методы анализа информации в социоло­гических исследованиях. М.: Наука, 1979.

7. Lebart L., Mori.ne.au A., Warwick К. Multivariate Descriptive Statistical Analysis. N.Y., 1984.

8. Гоштаутас А.. Семенов А.А.. Ядов ВА. Адаптированный вариант методики М.Рокича //Саморегуляция и прогно­зирование социального поведения личности. Л.: Наука, 1979.